Справка: Артур Левитт – 25 по счету глава Комиссии по ценным бумагам и биржам (SEC). Занимал пост с июля 1993 по февпаль 2001 года.

«Большая баня»

Корпорации демонстрируют свою привлекательность для инвесторов, регулярно представляя оценки эффективности и прибыльности своей деятельности. Однако проблемы могут быть там, где присутствуют большие расходы, связанные с реструктуризацией компании. Они позволяют фирмам подчистить свои балансы, что-то вроде эффекта «большой бани».

Почему корпорации склоны завышать расходы, связанные с реструктуризацией? Дело в том, что с позиции Wall Street, это выглядит как единовременные расходы, снижающие прибыль только в текущем периоде, при этом все внимание фокусируется на будущих прибылях.

Расходы, связанные с реструктуризацией «искусственно» завышаются (стоимость активов занижается, так сказать консервативно оценивается) в текущем периоде, с тем, чтобы чудесным образом всплыть в виде дохода в будущем, когда это потребуется (например, когда наступят тяжелые времена, или в случае снижения прибыли ниже требуемого уровня).

Когда компания идет на реструктуризацию, и менеджмент и персонал, инвесторы и кредиторы, поставщики и потребители, все хотят понять ожидаемый эффект. И мы нуждаемся, чтобы финансовая отчетность содержала всю эту необходимую информацию. Однако не следует превращать ни реструктуризацию, ни финансовую отчетность в инструмент для манипуляций с прибылью будущих периодов.

«Магия слияний»

В последние годы целые отрасли подверглись преобразованию через слияния, присоединения и выделения. Некоторые предприимчивые «покупатели», использовавшие акции в качестве «валюты» для расчетов, воспользовались этой средой как возможностью для создания новой формы «креативного» учета. Я называю его «мания слияний».

Я не говорю о методе отражения транзакций через «объединение интересов» или «покупка». Пусть! У некоторых компаний не остается иного выбора, чем показывать присоединение как покупку. И как результат отражения – снижение прибыли в будущем (более дорогие активы, гудвил – более высокая амортизация, налоги – как результат меньшая прибыли и т.п.). Но некоторые компании не хотят с этим мириться.

Что они делают? Они классифицируют покупаемые активы, рыночная (покупная) стоимость которых выше балансовой стоимости, как активы в «процессе разработки», что в свою очередь – как вы понимаете – позволяет единовременно их списать, то есть списать сразу же в момент их покупки, тем самым «подчистив» будущие прибыли. Та же самая проблема с созданием больших резервов под будущие расходы с целью защиты будущих прибылей. И все это делается под видом процесса поглощения одной компании другой.

«Заначка»

Некоторые компании используют нереалистичные допущения при оценке ряда своих издержек и обязательств, таких как товары возвращенные покупателями, потери по долгам или расходы по гарантийному обслуживанию. Делая это, они как бы заначивают «резерв», для того чтобы «распечатать» его в трудные для корпорации времена.

Вспоминается одна фирма, которая единовременно списала часть прибыли на закупку оборудования. Оборудование в итоге так и не было приобретено. Но при этом, корпорация сразу же анонсировала рост прибыли на 15 процентов в год.

«Существенность»

Еще один трюк – злоупотребление существенностью. Существенность – слово, привлекающее внимание, как бухгалтеров, так и прокуроров. Существенность – это еще один способ внедрения гибкости в финансовую отчетность. Следуя логике закона снижающейся предельной доходности, некоторые вещи могут быть настолько малозначимыми, что точностью их учета можно и вовсе пренебречь.

Однако некоторые корпорации склоны к злоупотреблению концепцией «несущественности». Они умышлено допускают ошибки в отчетах, не выходя за рамки дозволенных пределов. А потом оправдываются тем, что ошибки настолько незначительны, что на общий результат никак не влияют. А если и так, то зачем они тратят столько сил, что бы эти ошибки умышлено допускать? Может быть потому что на самом деле эффект все таки не такой уж незначительный, как они об этом заявляют. Но когда кто-то из руководства, или внешние аудиторы, интересуются подобными неточностями, бухгалтера начинают блеять аки овцы … «Но это ничего не значит. Это же несущественно.»

На рынке, просчеты в прогнозах прибыли всего на пенни могут выливаться в потери миллионов долларов рыночной капитализации. Я просто не могу согласится с тем, что эти так называемые «несущественные» вещи совсем уж не имеют никакого значения.

Признание дохода

Наконец, компании пытаются преувеличивать свои прибыли, манипулируя «признанием доходов». Это как бутылочка хорошего вина. Не следует ее распечатывать, пока вино не созреет. Но некоторые компании проделывают подобное с выручкой, приходуют ее в то время как сделка фактически еще не состоялась – когда потребитель еще не получил товар, или имеет возможность выйти из сделки до ее завершения.

___________________________________________

http://www.sec.gov/news/speech/speecharchive/1998/spch220.txt

Опубликовано на  - My SA InstaBlog

Разные страны имеют разное соотношение  P/E: у одних он высокий,у других низкий. Но это не значит, что страны с низким  P/E лучше стран с высоким  P/E. Такое сравнение бессмысленно. Действительно, страны могут иметь разные уровни по  P/E, но при этом также и разные процентные ставки, различный уровень риска, различную специализацию и т.д.

Сравнение стран будем основывать не только на P/E соотношении, но также и на стоимости денег во времени, то есть для каждой рассматриваемой страны учтем и процентные ставки. Последуем т.н. ФЕД модели. Подобные метрики более адекватны. Итак, P/E ~ 1/r, где r – доходность по 10-летним Государственным облигациям в рассматриваемой стране. Или (P/E)*r=k, где k это некий поправочный коэффициент (в ФЕД модели предполагается что он должен равняться «единичке»). В общем случае, чем ниже k, тем более дешевым считается рынок (недооцененным, или высоко рискованным). По крайней мере, если k меньше «единички», то реальная стоимость рынка меньше его теоретической стоимости  (в рамках рассматриваемой модели - справедливой стоимости).

Теперь о реальном ВВП.

В действительности, на исторических данных не обнаруживается какая-либо статистически значимая связь между ВВП и P/E (или r*P/E), и тем более между ВВП и будущей ценовой динамикой на рынке. Тем не менее, ВВП это важный косвенный показатель. Очевидно: при сильном ВВП рынок более привлекателен, и наоборот.

Таким образом, на плоскости  k-ВВП рынки более привлекательных стран будут соответствовать точкам, расположенным как можно ниже и правее. В то время как непривлекательные по цене рынки на фоне слабого ВВП будут выше и левее.

Данные (t1.bmp) | Источники (Source.txt)

Выводы: несомненно, КНР (GXC, FXI, PGJ) является лидером. Рынок Китая останется лидером, даже если прогноз ВВП снизить до 6%. Также привлекательными выглядят Гонконг (EWH) и Сингапур (EWS). Что касается Индии, то здесь ситуация неоднозначная – с одной стороны высокий ожидаемый ВВП, с другой стороны, дорогой рынок, согласно ФЕД модели. Переоцененным также выглядит рынок Бразилии (EWZ) на фоне среднего темпа роста (для развивающихся стран) ВВП. Канада (EWC), США (IWV, DIA, SPY) и Россия (RSX) - этакие середнячки. Вряд ли Российски рынок самый привлекательный среди рассматриваемых регионов. В Старом Свете, лидер – Швейцария (EWL), на втором месте Германия (EWG).

Из справки (Что такое OptionScope?)

OptionScope уникальный инструмент, в виде электронной таблицы, который используется для анализа опционов на фьючерсы и акции.
В OptionScope представлено пять основных функций:

• Оценка справедливой премии по Пут или Колл Опциону.
• Оценка IV (подразумеваемой волатильности), то есть волатильности, которая следует из фактической цены опциона и отражает ожидания участников рынка.
• Оценка коэффициентов чувствительности Опциона (Греков) к изменению рыночных условий: Дельта, Гамма, Тэта и Вега.
• OptionScope также можно использовать для сценарного анализа «что если?».
• И графические функции для визуально отображения прибыли/убытка по позициям.

Из справки (Модель ценообразования опционов Black-Scholes)

В основе OptionScope популярная математическая модель опционного ценообразования, представленная Fisher Black и Myron Scholes в 1973 году.

Модель позволяет определить справедливую стоимость опциона на основе текущей цены базового актива, волатильности, времени до экспирации и безрисковой ставки.

Релиз модели основан на следующих предположениях:

• Рынок идеален. Отсутствуют налоги, какие либо транзакционные издержки, участники рынка могут занимать и одалживать по одной для всех безрисковой ставке. Разрешены «шорты» и активы бесконечно делимы.
•  Цены распределены логнормально. Что значит, что цена может удвоиться с той же легкостью как и уполовиниться.
• В модели по акциям не предусмотрены денежные дивиденды и бонусные эмиссии. Тем не менее, в OptionScope возможна корректировка модели с учетом дивидендов.
• Опцион может быть исполнен только на момент экспирации.

Таким образом, OptionScope инструмент для оценки Опционов европейского стиля. Для бездивидендных акций модель и релиз неплохо работает, и вроде бы никаких проблем замечено не было.

Самое интересное начинается при анализе опционов на акции с дивидендами и опционов на фьючерсы. Разберем подробно несколько кейсов при оценке и анализе опциона на фьючерс (для опциона на дивидендные акции процедура аналогична).

Для альтернативной оценки опционов воспользуемся скриптом, в основе которого все та же модель Блэка Шоулза, а точнее её модификация для фьючерсного рынка:

Зададим цену базового актива в $100, страйк в $100, безрисковую ставку, например 10% годовых и аннуализированная волатильность 35%. Время до исполнения ровно 1 год (365 дне). Согласно оценкам полученным при помощи OptionScope, премия по такому опциону типа колл равняется 12.57006. По альтернативному релизу Black-Scholes 12.57003457. Незначительная разница предположительно может быть объяснена округлениями и «качеством» подсчета вероятностного интеграла. В общем, оценки, можно
сказать совпадают.

Теперь рассчитаем премию опциона при тех же условиях, но текущую цену фьючерса зададим в $140. Альтернативный релиз Black-Scholes дает $39.52005501, при внутренней стоимости $40. Для опциона европейского стиля на фьючерс такая ситуация вполне обычна. А вот опцион американского стиля не может стоить меньше внутренней стоимости, ни при каких условиях. Что выдает OptionScope? Премия $40, равна внутренней стоимости. То есть подогнали «европейскую модель» под «американский» стиль!

Вероятно (однозначно здесь, наверное, нельзя утверждать) OptionScope выдает максимум внутренней стоимости и премии по Black-Scholes, что не соответствует действительности ни в модели, ни в реальном мире.

Покажем некорректность расчетов (даже без альтернативной оценки) через оценку подразумеваемой волатильности по известной премии. Условия прежние: БА – $140, Страйк – $100, безрисковая ставка 10% годовых и время жизни опциона один год. В качестве премии по опциону возьмем результат предыдущего испытания, то есть $40, что было получено при 35%-ой волатильности. Сколько показывает OptionScope? Предательские 25.00008773804 процентов для всех цен выше «барьерного» уровня – примерно 137.77 (с точностью до третьего знака).

Интересно: а что если показывать премию меньшую внутренней стоимости? Такая задачка OptionScope «не позубам», что еще раз свидетельствет о том, что используется некая модификация Black-Scholes, которая не имеет отношения хотя бы к теоретической стоимости европейского опциона.

Рассмотрим N-периодную модель: t[0] – момент выписывания Up-and-Out Call Опциона, t[N]=T – момент его истечения.

В момент истечения Up-and-Out Call Опциона, то есть t[N], при цене базового актива меньшей барьера, его стоимость определяется как стоимость простого европейского ванильного опциона, если в остальные моменты времени цена базового актива не достигала уровня барьера. То есть для того чтобы воссоздать реализацию первого сценария, в дублирующий портфель включается один простой европейский колл опцион с ценой исполнения S и экспирацией в момент времени t[N]. Обозначим его стоимость момент t[N] O(1,t[N]).

Второй сценарий предполагает, что при достижении ценой базового актива уровня B моделируемый опцион утрачивает силу и его стоимость «обнуляется». Для того чтобы сдублировать этот вариант развития событий в момент t[N-1] потребуется закрыть все позиции* по опционам, и сделать это необходимо при их нулевой стоимости. Для того чтобы «занулить» стоимость портфеля в момент времени t[N-1] в портфель добавляется позиция по европейскому колл опциону со страйком B** и моментом исполнения t[N] – O(2,t[N]). Стоимость такого контракта в момент времени t[N] не окажет влияния на финальную стоимость портфеля при цене меньшей B. А объем позиции по добавляемому опциону определяется из условия x[1]*O(1,t[N-1]) + x[2]*O(2,t[N-1]) = 0, то есть x[2] = -O(1,t[N-1])/O(2,t[N-1]).

В момент времени t[N-2] в портфель добавляется опцион с исполнением в момент времени t[N-1], страком B и в количестве из расчета x[1]*O(1,t[N-2]) + x[2]*O(2,t[N-2]) + x[3]*O(3,t[N-2])= 0.

На i-м шаге, в портфель добавляется позиция по простому европейскому колл опциону с ценой исполнения B, экспирацией в момент t[N-i-1]. Объем позиции определяется исходя из x[1]*O(1,t[N-2]) + x[2]*O(2,t[N-i]) + x[3]*O(3,t[N-i]) + … + x[i+1]*O(i+1,t[N-i])= 0.

И так далее …

В момент t[0], стоимость составленного портфеля при любой цене базового актива, не превосходящей уровень барьера, будет служить оценкой стоимости Up-and-Out Call Опциона. Чем больше N, тем ближе оценка к теоретической стоимости моделируемого опциона.

Пример: Страйк – $100, барьер $120, волатильность базового актива 15%, безрисковая ставка 5% годовых, дивидендная доходность 3% годовых, срок опциона – один год.
Зададим N=6. По истечении 12-ти месяцев стоимость Up-and-Out Колл Опциона до барьерного уровня будет сооствествовать стоимости простого ванильного европейского опциона с ценой исполнения в $100 и моментом экспирации, соответствующем моменту экспирации моделируемого контракта.

По прошествии десяти месяцев с момента выписывания рассматриваемого Up-and-Out контракта, стоимость дублирующего портфеля определяется стоимостью европейского ванильного колл опциона с исполнением через 1/6 года и при цене спота в $120 – $20.23. При этом стоимость аналогичного опциона с исполнением по $120 в этот же момент времени составляет $3.11. Таким образом, чтобы портфель в рассматриваемый момент времени стоил ровно «нуль», объем позиции по добавляемому инструменту составит -$20.23/$3.11=-6.50.

В момент соответствующий четырем месяцам до исполнения Up-and-Out контракта, стомость составленного портфеля опционов в барьерном уровне составит $20.51 + $4.50*(-6.50) = -$8.70. Поэтому в портфель добавляется простой европейский опцион ценой исполнения $120 и исполнением через два месяца, стоимость которого в рассматриваемый момент времени $3.11. Объем открываемой позиции определяется из рассчета -(-$8.70/)/$3.11 = 2.79.

И так далее … Результаты расчетов приведены в таблице:

№ / Страйк опциона, ден ед. / Время до экспирации, лет  / Количество, шт
1 / 100.00 / 1.00 / 1.0000
2 / 120.00 / 1.00 / -6.4962
3 / 120.00 / 0.83 / 2.7945
4 / 120.00 / 0.67 / 0.9237
5 / 120.00 / 0.50 / 0.4417
6 / 120.00 / 0.33 / 0.2553
7 / 120.00 / 0.17 / 0.1657

Стоимость портфеля на момент выписывания Up-and-Out Колл Опциона при цене базового актива $100 равняется $2.2971.

Репликация Up-and-Out Call опциона

При увеличение числа шагов до 12 стоимость портфеля составит $2.1136.

Симуляция торговли на компьютере. Начальная сумма 1000 долларов, 100 трейдов, 60* трейдов прибыльные, случайным является порядок прибыльных трейдов. Прибыльный приносит 100% прибыли, убыточный 100% убытка. Ставка устанавливается участником эксперимента по его собственному усмотрению исходя из отстака на счете («шортов» нет, «плечей» тоже нет).

Цель: получить максимальную прибыль

Пройти тест >>

Из истории: Ральф Винс пригласил 40 докторов наук (не имевших отношения к статистике, трейдингу и пр.). После симуляции 100 трейдов на компьютере только двое участника эксперимента имели остаток на счете превосходивший первоначальную сумму. 95% докторов прошли тест с убытком!

________________________________________________
*)в оригинале упоминается о ста трейдах, для которых вероятность прибыльного (убыточного) исхода постояна на каждом шаге эксперимента.

Reference:

• Р.Винс Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров: Пер. с англ. – М.: Альпина Паблишер, 2001. – 400 с.
• Биржевые стратегии игры без риска. Ван Тарп, Д. Р. Бартон-мл, С. Сьюггеруд
• THE MATHEMATICS OF MONEY MANAGEMENT. Risk Analysis Techniques for Traders // Ralph Vince
• Ralph Vincent «The Ralph Vincent Experiment» in Lucas and Lebeau, Technical Traders Bulletin March 1992 pp1-2

Единичный интервал времени – единичный горизонт, соответствует одному бизнес дню. Горизонт прогнозирования – один бизнес день. Горизонт расчета (N) – 253 единичных интервала.

Equal Weight
Equal Weight (EqW) – Simple Historical Volatility (SHV) — волатильность рассчитываемая методом простой (равновзвешенной) скользящей средней (SMA). Формула расчета:

Где:

Exponential Weighted Moving Average (EWMA)
RiskMetrics 1994 (RM1994) – Exponential Historical Volatility (EHV) — волатильность рассчитываемая методом экспоненциально-взвешенной скользящей средней. Формула расчета:

Где:

За значение «лямбды» принимается 0.06. Значение «единичка минус лямбда», сообтветственно равняется 0.94, что является значением по умолчанию для коэффициента при волатильности за предыдущий период.

The RiskMetrics 2006 methodology

RM2006. «Механизм» оценки:

Где

EWMA – волатильность для k определяется аналогично модели rm1994.

R e f e r e n c e :
_____________________________________________________________

• Gilles Zumbach The RiskMetrics 2006 methodology – Geneva: RiskMetrics Group, 2006
• RiskMetrics (ТМ) —Technical Document Fourth Edition, 1996: New York December 17, 1996

В реальной жизни, цена опциона до экспирации не может быть меньше его внутренней стоимость, иначе возникает возможность арбитража. Чтобы «искусственно» избежать данной «аномалии», при не противоречии модели Блэка-Шоулза, к рассматриваемому европейскому опциону в количестве одной единицы добавляют еще один европейский ванилла колл-опцион со страйком, равным цене «барьера» и экспирацией в по завершению N-1 периода, в количестве «единичка» за минусом дельта рассматриваемой европейской опции в точке «барьера».

Таким образом, имеем портфель из двух европейских колл-опционов, если конечно существует в «барьер», в противном случае портфель будет состоять из одного опциона.

Рассмотрим момент завершения периода N-2. Вычислим «барьер» теперь уже для портфеля опционов, экспирация первого через два этапа, второго (если он существует) через один этап. Если на данном этапе «барьер» существует, то к имеющимся опционам добавляют еще один, со страйком в цене «барьера» и в количестве, равном «единичка» за минусом дельта портфеля в точке «барьера».

Увеличиваем время до экспирации опционов на один этап, и рассматриваем завершение N-3 периода по рассмотренной схеме.

И так далее … пока не дойдем до окончания первого периода.

Пример: free risk rate 10% годовых, волатильность цены базового актива (например, бездивидендого фьючерса акцию) 30%, цена андерлаинга 100$, страйк 100$, время до экспирации ровно один год. Десятипериодная модель.

Стоимость портфеля 11.15$.  Для сравненя: стоимость европейской простой ванилла колл-опции с теме же параметрами 10.78$.

________________________________________________

Referece:

[1] Valuing American options in the presence of user-defined smiles and time-dependent volatility: scenario analysis, model stress and lower-bound pricing applications.// Peter Jackel Riccardo Rebonato Quantitative Research Centre, The Royal Bank of Scotland 135 Bishopsgate, London EC2M 3UR August 7th, 2000

Базовый актив – фьючерс F, ставка процента r, волатильность цены андерлаинга sigma>0.

Простой европейский ванилла колл-опцион E со страйком C.

Портфель простых европейских ванилла колл-опций Q={q[1],q[2],…,q[N]}, где  q[i] – количество i-го опциона в юнитах, i=1..N. Оговорены цены исполнения опций S={s[1],s[2],…,s[N]}. И время до экспирации T={t[1],t[2],…,t[N]}, причем t>0 для всех i=1..N, то есть ни один опцион в портфеле не истекает в рассматриваемый момент. 

Вычислить минимальную цену андерлаинга, при которой стоимость портфеля, рассчитанная по Блэку-Шоулзу и внутренняя стоимость опции E совпадают.

Немного рассуждений:

Внутренняя стоимость опции определяется как i(x)=max{0,x-C}, где x – цена андерлаинга. Будем рассматривать функцию P(x)-I(x) начиная с цены C (тот участок где I(x)=0, то есть для x<C нас не интересует). Таким образом, требуется найти минимальную цену, большую C, при которой P(x)-I(x)=0.

Учитывая вид функции P(x)-I(x) на интересующем нас интервале можно сделать вывод о том, что возможно три ситуации. Первая – искомой точки не существует. Вторая – существует единственная точка. И третий – существует две точки.

Для вычисления искомой цены воспользуемся методом Ньютона (например, [1 стр.185]).

Начнем поиск решения с точки C. В силу определения портфеля Q, его стоимость в точке C строго больше нуля. Внутренняя стоимость равна нулю. Таким образом, P(C)-I(C)>0. При этом возможно следующее:

• (P(C)-I(C))’ не меньше 0 => не существует такого интервала, начиная с C, на котором значения функция пересечет нулевую отметку (в силу того, что P(C)-I(C)>0, (P(C)-I(C))’>0 и того, что (P(x)-I(x))’ монотонно «неубывает»);
• (P(C)-I(C))’<0 => возможно существует такой интервал, начиная с C, на котором значения функции пересекут нулевую отметку.

Во втором случае будем искать точку пересечения функции с нулевой отметкой, перебирая (увеличивая) цену андерлаинга, определяя каждую следующую цену согласно x[j]=x[j-1]-((P(x[j-1])-I(x[j-1]))/(Delta(Q(x[j-1])*-1)), пока либо не приблизимся к решению на заданную величину, то есть пока P(x[j])-I(x[j]>K**, либо пока не окажемся в точе, в которой (P(C)-I(C))’ не меньше нуля.

_____________________________________
* Дельта портфеля
** Требуемая точность

Пример:

Европейский колл опцион со страйком 15000, фри-риск ставка 10%, волатильность цены андерлаинга 50%,  до экспирации ровно один год. Найти точку пересечения цены опциона и его внутренней стоимости с точностью до второго знака после «точки».

Reference

[1] Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие для вузов – 2 изд., испр. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 248с.

Ванила опция европейского стиля (Plain Vanilla Option) – любой неэкзотический опцион, исполняемый только на определенную дату по заранее определенной цене.

Опция американского стиля (American-Style Option) – опцион, исполняемый до указанной даты.

Сложность репликации опциона американского стиля при помощи простых европейских ванила опций, в отличие скажем, от репликации барьерных опционов, заключается в том, что ex ante не известен «барьер», при котором покупатель опциона потребует поставки. Точнее, известно лишь, что стоимость контракта в идеальном мире и до момента истечения контракта никогда не будет меньше его внутренней стоимости, то есть максимального значения из 0 и разности между ценой текущей ценой базового актива и ценой исполнения*. Для колл опции американского стиля это означает, что моментом его исполнения будет момент, когда «дельта» опции впервые принимает значение равное «единичке» [1 стр. 10].

Это основная идея репликации: требуется составить портфель из европейских ванила колл опций с различными датами экспирации, таким образом, чтобы его стоимость никогда не опускалась ниже внутренней стоимости такого «синтетического» американского опциона в любой i-тый момент времени**, i=1..n.

В момент (в момент времени n) экспирации моделируемого американского колл опциона, его стоимость будет равна его внутренней стоимости, дельта будет равна «единичке». Аналогичные характеристики будут и у простой европейской ванила опции с тем же страйком и с той же датой исполнения.

В момент, предшеструющий экспирации моделируемого американского опциона (в момент n-1), его стоимость будет определятся максимальным значением из текущей внутренней стоимости моделируемой опции (то есть либо «нулик», либо разность между ценой андерлаинга в момент времени n-1 и цены исполнения, если конечно же разность больше «нуля») и текущей стоимости простого европейского ванила опциона в момент времени n-1, с экспирацией в момент времени n [*].

Рассмотрим пример. Дискретная трехпериодная модель, i=1..3. Момент времени i=3 означает окончание обращения контракта. На момент времени i=1 будем рассчитывать портфель из простых европейских ванильных опционов, таким образом, чтобы на момент времени i=2 его теоретическая стоимость была не ниже внутренней стоимости моделируемого американского опциона. Расчеты осуществим на конкретных, пусть и вымышленных цифрах.

Итак, андерлаингом является фьючерс, цена которого на момент времени i=1 равняется 18000. Волатильность пусть будет постоянной и равняется 35 процентам за каждый период времени. Ставка процента 20% за каждый период времени. Будем рассчитывать американский опцион с истечением через два периода и возможностью страйка через один период времени по цене 18000.

По истечении срока обращения контрактов. Премия по опциону любого стиля, американского или европейского, совпадет с внутренней стоимостью.

По завершении периода, предшествующего последнему, то есть i=2, стоимость моделируемого, американского опциона будет равна (при сделанных предположениях [*]) максимуму внутренней стоимости и теоретической стоимости европейской ванила опции на момент времени i=2 и с истечением на момент времени i=3. Однако, при некоторых условиях, в частности как в примере, при цене фьючерса, равной примерно 22500, произойдет пересечение линии внутренней стоимости и его премии.

Для того чтобы стоимость портфеля европейских опций была выше уровня внутренней стоимости при любой цене в момент времени i=2, в портфеле должен быть еще один европейский опцион, исполняемый в момент времени i=2 и со страйком, равным цене при которой происходит пересечение внутренней стоимости и премии по опциону, с экспирацией в момент i=3. Количество опционов истекающих в момент времени i=2, будет определятся как разность «единички» и дельты погашаемого в i=3 европейского опциона в точке пересечения его премии и его же внутренней стоимости. В примере 1-0.548216527, то есть на каждый 1 опцион, истекающий в i=3, нужно 0.451783473 опциона с экспирацией в i=3. 
 

Итого: в нашем примере, для того чтобы сдублировать опцион, который можно «страйкнуть» в один определенный момент времени до его экспирации, на момент времени i=1 потребуется портфель, состоящий из одной евпропейской ванила опции с экпирацией в i=3, страйком 18000, и 0.451783473 европейской ванила опции с экпирацией в i=2, со страйком 22500.

Таким образом, суммарная стоимость портфеля составит 3554.21. Для сравнения: стоимость одного европейского опцопциона по Блэку-Скоулзу, с теме же параметрами, что и моделируемый опцион составляет 2990.86.

Естественно, что два периода это очень и очень грубая оценка, в [1 стр. 18] числено показано, что для более или менее приемлемых результатов потребовалось рассматривать 6 периодов.

___________________________________________________
*здесь и далее будем рассматривать колл опцию (call)
**рассматривается, естественно, дискретная модель

Referece:

[1] Valuing American options in the presence of user-defined smiles and time-dependent volatility: scenario analysis, model stress and lower-bound pricing applications.// Peter Jackel Riccardo Rebonato Quantitative Research Centre, The Royal Bank of Scotland 135 Bishopsgate, London EC2M 3UR August 7th, 2000

Сравним волатильность рынка акций и спрэд по облигациям рейтинга BAA (то есть далеко не самые надежные корпоративные «бумажные» долги). В CAPM, ex ante, связь между ожидаемой доходностью и риском данных двух классов инструментов будет со знаком «полюс». И в целом, и в случае с отдельными корпорациями, динамика акций находится в зависимости от исполнения эмитентами своих обязательств по долгам.

Так как собственно спрэд доходности не является характеристикой риска в терминах портфельной теории, воспользуемся показателем «волатильности» портфеля облигаций, основываясь на следующих суждениях: 

Пусть по облигации в момент погашения будет дефолт с вероятностью в P, в этом случае потери составят -100%. Либо эмитент в полном объеме исполнит свои обязательства (Risk-Neutral Probabilities c reсovery rate 0%)*. Тогда

r = -P + b * ( 1 – P ), где

r – доходность гособлигаций,
b – доходность корпоративных облигаций,
P – вероятность дефолта по корпоративным облигациям.

Откуда:

P = ( b – r ) / ( 1 + b ).

Зная вероятности, оценим дисперсию:

v = P + b^2 * ( 1 – P ) – r^2,

и «сигму», исходя из того, что:

s^2 = v/120*,где
s – «сигма» (СКО).

Будем исследовать зависимость между кредитным спрэдом на конец предыдущего месяца, и дневные колебания рынка акций (по S&P500) в течение следующего. Для того чтобы снизить влияние «шума» несколько усредним, точнее сгруппируем данные.

1. Группировка по времени (по 12 месяцев).

Упорядочим данные в порядке возрастания риска облигаций. В качестве экзогенной переменной будет верхняя граница интервалов в 12 месяцев показателей риска облигаций, рассчитанная на основании спрэда, а в качестве эндогенной переменной будет выступать «сигма» дневных колебаний S&P500 по данным 12 месяцев.

Учитывая, что в CAPM связь между рисками отдельных классов не будет линейной (по крайней мере в данном случае связь между «сигмами» активов не будет линейной), приближать исходные данные линейной функцией не вполне корректно. Более четкая связь, в терминах R-квадрат, будет наблюдаться между дисперсиями доходности активов (R-квадрат примерно равен 36%).

2. Группировка по времени (по 117 месяцев).

Конечно, качество данных оставляет желать лучшего, и уравнение построенное при группировке данных первым способом вряд ли можно применять в прогнозировании волатильности рынка акций. Примерно с тем же уcпехом можно применять результаты группировки по 117 месяцев – шесть равных интервалов с 1953 по 2009 гг.

3. Группировка по СКО облигаций (с шагом по 0.25%).

Выводы: и априорно и статистически, имеет место зависимость между спрэдом на рынке корпоративных облигаций и волатильностью рынка акций.

_____________________________________________
*основная цель – переход от спрэда в пунктах к теоретической сигме модельного портфеля. Поскольку данный ход не ориентирована исчерпывающий анализ кредитных рисков на рынке корпоративных облигаций, подобного приближения будет более чем достаточно.
**деление на 120 (10 лет = 120 месяцев, исследовались доходности 10-них облигаций), осуществляется исключительно ради удобства визуального сравнения данных. Никакой смысловой нагрузки эта операция не несёт.