В реальной жизни, цена опциона до экспирации не может быть меньше его внутренней стоимость, иначе возникает возможность арбитража. Чтобы «искусственно» избежать данной «аномалии», при не противоречии модели Блэка-Шоулза, к рассматриваемому европейскому опциону в количестве одной единицы добавляют еще один европейский ванилла колл-опцион со страйком, равным цене «барьера» и экспирацией в по завершению N-1 периода, в количестве «единичка» за минусом дельта рассматриваемой европейской опции в точке «барьера».

Таким образом, имеем портфель из двух европейских колл-опционов, если конечно существует в «барьер», в противном случае портфель будет состоять из одного опциона.

Рассмотрим момент завершения периода N-2. Вычислим «барьер» теперь уже для портфеля опционов, экспирация первого через два этапа, второго (если он существует) через один этап. Если на данном этапе «барьер» существует, то к имеющимся опционам добавляют еще один, со страйком в цене «барьера» и в количестве, равном «единичка» за минусом дельта портфеля в точке «барьера».

Увеличиваем время до экспирации опционов на один этап, и рассматриваем завершение N-3 периода по рассмотренной схеме.

И так далее … пока не дойдем до окончания первого периода.

Пример: free risk rate 10% годовых, волатильность цены базового актива (например, бездивидендого фьючерса акцию) 30%, цена андерлаинга 100$, страйк 100$, время до экспирации ровно один год. Десятипериодная модель.

Стоимость портфеля 11.15$.  Для сравненя: стоимость европейской простой ванилла колл-опции с теме же параметрами 10.78$.

________________________________________________

Referece:

[1] Valuing American options in the presence of user-defined smiles and time-dependent volatility: scenario analysis, model stress and lower-bound pricing applications.// Peter Jackel Riccardo Rebonato Quantitative Research Centre, The Royal Bank of Scotland 135 Bishopsgate, London EC2M 3UR August 7th, 2000

Ванила опция европейского стиля (Plain Vanilla Option) – любой неэкзотический опцион, исполняемый только на определенную дату по заранее определенной цене.

Опция американского стиля (American-Style Option) – опцион, исполняемый до указанной даты.

Сложность репликации опциона американского стиля при помощи простых европейских ванила опций, в отличие скажем, от репликации барьерных опционов, заключается в том, что ex ante не известен «барьер», при котором покупатель опциона потребует поставки. Точнее, известно лишь, что стоимость контракта в идеальном мире и до момента истечения контракта никогда не будет меньше его внутренней стоимости, то есть максимального значения из 0 и разности между ценой текущей ценой базового актива и ценой исполнения*. Для колл опции американского стиля это означает, что моментом его исполнения будет момент, когда «дельта» опции впервые принимает значение равное «единичке» [1 стр. 10].

Это основная идея репликации: требуется составить портфель из европейских ванила колл опций с различными датами экспирации, таким образом, чтобы его стоимость никогда не опускалась ниже внутренней стоимости такого «синтетического» американского опциона в любой i-тый момент времени**, i=1..n.

В момент (в момент времени n) экспирации моделируемого американского колл опциона, его стоимость будет равна его внутренней стоимости, дельта будет равна «единичке». Аналогичные характеристики будут и у простой европейской ванила опции с тем же страйком и с той же датой исполнения.

В момент, предшеструющий экспирации моделируемого американского опциона (в момент n-1), его стоимость будет определятся максимальным значением из текущей внутренней стоимости моделируемой опции (то есть либо «нулик», либо разность между ценой андерлаинга в момент времени n-1 и цены исполнения, если конечно же разность больше «нуля») и текущей стоимости простого европейского ванила опциона в момент времени n-1, с экспирацией в момент времени n [*].

Рассмотрим пример. Дискретная трехпериодная модель, i=1..3. Момент времени i=3 означает окончание обращения контракта. На момент времени i=1 будем рассчитывать портфель из простых европейских ванильных опционов, таким образом, чтобы на момент времени i=2 его теоретическая стоимость была не ниже внутренней стоимости моделируемого американского опциона. Расчеты осуществим на конкретных, пусть и вымышленных цифрах.

Итак, андерлаингом является фьючерс, цена которого на момент времени i=1 равняется 18000. Волатильность пусть будет постоянной и равняется 35 процентам за каждый период времени. Ставка процента 20% за каждый период времени. Будем рассчитывать американский опцион с истечением через два периода и возможностью страйка через один период времени по цене 18000.

По истечении срока обращения контрактов. Премия по опциону любого стиля, американского или европейского, совпадет с внутренней стоимостью.

По завершении периода, предшествующего последнему, то есть i=2, стоимость моделируемого, американского опциона будет равна (при сделанных предположениях [*]) максимуму внутренней стоимости и теоретической стоимости европейской ванила опции на момент времени i=2 и с истечением на момент времени i=3. Однако, при некоторых условиях, в частности как в примере, при цене фьючерса, равной примерно 22500, произойдет пересечение линии внутренней стоимости и его премии.

Для того чтобы стоимость портфеля европейских опций была выше уровня внутренней стоимости при любой цене в момент времени i=2, в портфеле должен быть еще один европейский опцион, исполняемый в момент времени i=2 и со страйком, равным цене при которой происходит пересечение внутренней стоимости и премии по опциону, с экспирацией в момент i=3. Количество опционов истекающих в момент времени i=2, будет определятся как разность «единички» и дельты погашаемого в i=3 европейского опциона в точке пересечения его премии и его же внутренней стоимости. В примере 1-0.548216527, то есть на каждый 1 опцион, истекающий в i=3, нужно 0.451783473 опциона с экспирацией в i=3. 
 

Итого: в нашем примере, для того чтобы сдублировать опцион, который можно «страйкнуть» в один определенный момент времени до его экспирации, на момент времени i=1 потребуется портфель, состоящий из одной евпропейской ванила опции с экпирацией в i=3, страйком 18000, и 0.451783473 европейской ванила опции с экпирацией в i=2, со страйком 22500.

Таким образом, суммарная стоимость портфеля составит 3554.21. Для сравнения: стоимость одного европейского опцопциона по Блэку-Скоулзу, с теме же параметрами, что и моделируемый опцион составляет 2990.86.

Естественно, что два периода это очень и очень грубая оценка, в [1 стр. 18] числено показано, что для более или менее приемлемых результатов потребовалось рассматривать 6 периодов.

___________________________________________________
*здесь и далее будем рассматривать колл опцию (call)
**рассматривается, естественно, дискретная модель

Referece:

[1] Valuing American options in the presence of user-defined smiles and time-dependent volatility: scenario analysis, model stress and lower-bound pricing applications.// Peter Jackel Riccardo Rebonato Quantitative Research Centre, The Royal Bank of Scotland 135 Bishopsgate, London EC2M 3UR August 7th, 2000