Из справки (Краткое описание):

Данная программа предназначена для расчета опционной премии (или подразумеваемой волатильности по известной премии), коэффициентов чувствительности, а также построения графиков фьючерсных и опционных позиций (прибылей/убытков, кривая стоимости опциона). Расчет опционной премии осуществляется по биноминальному методу для американских опционов на фьючерсные контракты.

Рассмотрим пример: Страйк = 100, Спот (цена фьючерса) = 100, ставка 10% и волатильность 20%. Время до исполнения 1 год. Оценим премию американского колл-опциона методом F.A. Longstaff – E.S. Schwartz (Монте-Карло, динамическое программирование, метод наименьших квадратов). Можно воспользоваться и более удобным способом оценки опциона американского стиля, например «конечными разностями», или статической репликацей портфелем простых европейских опционов – это на любителя. Получим приблизительную оценку стоимости американского опциона – 7.3823.

Рассчитаем справедливую стоимость рассматриваемого опциона в Опционный аналитик FORTS – 7.21. Это несколько ниже полученных нами оценок. Более того, полученное значение ближе к Блэку-Скоулзу для европейского опциона, нежели к оценкам американского опциона, в том числе и полученной нами оценке.

Опцион американского стиля не может быть дешевле опциона европейского стиля при прочих равных условиях, с одной стороны. С другой стороны, американский опцион не может стоить дешевле своей внутренней стоимости! И если кому-то полученная раннее разница в оценках в 2.4% еще ничего не говорит, то рассмотрим ситуацию когда цена спота равна 200.

Монте-Карло – 99.8 (должно быть не меньше 100 … ну что ж, не самый совершенный метод, тем не менее на уровне «с пивом потянет», результат можно считать удовлетворительным).

для увеличения кликнуть

Опционный аналитик – 90.49. То есть «покупаем» за 90.49 опцион, в тот же момент продаем фьючерс за 200 и сразу же инициируем поставку (покупку фьючерса) по 100 – Чистый результат – 9.5 прибыли из «воздуха» … Но на практике такого же не бывает.

Наиболее «продвинутые» опционщики могут посетовать на улыбку «волатильности». Мол, если опцион должен стоить по крайней мере 100, то волатильность (IV по премии – обратнай задачка), согласно Опционный аналитик FORTS – 77.20%.

Замонтекарлим, американский опцион с учетом новых обстоятельств – Страйк = 100, Спот (цена фьючерса) = 200, ставка 10% и волатильность 77.2%. Время до исполнения 1 год. Имеем – 105.20, что опять выше оценки, полученной в Опционный аналитик FORTS, но при этом не выбегает за рамки теории.

ПС: можно провести аналогичные подсчеты с использованием других калькуляторов (методов). К сожалению, не имея на руках исходников скриптов нельзя точно сказать какая именно модель используется в анализируемом продукте, хотя есть подозрения на биноминальную модель для опционов европейского стиля.

Рассмотрим N-периодную модель: t[0] – момент выписывания Up-and-Out Call Опциона, t[N]=T – момент его истечения.

В момент истечения Up-and-Out Call Опциона, то есть t[N], при цене базового актива меньшей барьера, его стоимость определяется как стоимость простого европейского ванильного опциона, если в остальные моменты времени цена базового актива не достигала уровня барьера. То есть для того чтобы воссоздать реализацию первого сценария, в дублирующий портфель включается один простой европейский колл опцион с ценой исполнения S и экспирацией в момент времени t[N]. Обозначим его стоимость момент t[N] O(1,t[N]).

Второй сценарий предполагает, что при достижении ценой базового актива уровня B моделируемый опцион утрачивает силу и его стоимость «обнуляется». Для того чтобы сдублировать этот вариант развития событий в момент t[N-1] потребуется закрыть все позиции* по опционам, и сделать это необходимо при их нулевой стоимости. Для того чтобы «занулить» стоимость портфеля в момент времени t[N-1] в портфель добавляется позиция по европейскому колл опциону со страйком B** и моментом исполнения t[N] – O(2,t[N]). Стоимость такого контракта в момент времени t[N] не окажет влияния на финальную стоимость портфеля при цене меньшей B. А объем позиции по добавляемому опциону определяется из условия x[1]*O(1,t[N-1]) + x[2]*O(2,t[N-1]) = 0, то есть x[2] = -O(1,t[N-1])/O(2,t[N-1]).

В момент времени t[N-2] в портфель добавляется опцион с исполнением в момент времени t[N-1], страком B и в количестве из расчета x[1]*O(1,t[N-2]) + x[2]*O(2,t[N-2]) + x[3]*O(3,t[N-2])= 0.

На i-м шаге, в портфель добавляется позиция по простому европейскому колл опциону с ценой исполнения B, экспирацией в момент t[N-i-1]. Объем позиции определяется исходя из x[1]*O(1,t[N-2]) + x[2]*O(2,t[N-i]) + x[3]*O(3,t[N-i]) + … + x[i+1]*O(i+1,t[N-i])= 0.

И так далее …

В момент t[0], стоимость составленного портфеля при любой цене базового актива, не превосходящей уровень барьера, будет служить оценкой стоимости Up-and-Out Call Опциона. Чем больше N, тем ближе оценка к теоретической стоимости моделируемого опциона.

Пример: Страйк – $100, барьер $120, волатильность базового актива 15%, безрисковая ставка 5% годовых, дивидендная доходность 3% годовых, срок опциона – один год.
Зададим N=6. По истечении 12-ти месяцев стоимость Up-and-Out Колл Опциона до барьерного уровня будет сооствествовать стоимости простого ванильного европейского опциона с ценой исполнения в $100 и моментом экспирации, соответствующем моменту экспирации моделируемого контракта.

По прошествии десяти месяцев с момента выписывания рассматриваемого Up-and-Out контракта, стоимость дублирующего портфеля определяется стоимостью европейского ванильного колл опциона с исполнением через 1/6 года и при цене спота в $120 – $20.23. При этом стоимость аналогичного опциона с исполнением по $120 в этот же момент времени составляет $3.11. Таким образом, чтобы портфель в рассматриваемый момент времени стоил ровно «нуль», объем позиции по добавляемому инструменту составит -$20.23/$3.11=-6.50.

В момент соответствующий четырем месяцам до исполнения Up-and-Out контракта, стомость составленного портфеля опционов в барьерном уровне составит $20.51 + $4.50*(-6.50) = -$8.70. Поэтому в портфель добавляется простой европейский опцион ценой исполнения $120 и исполнением через два месяца, стоимость которого в рассматриваемый момент времени $3.11. Объем открываемой позиции определяется из рассчета -(-$8.70/)/$3.11 = 2.79.

И так далее … Результаты расчетов приведены в таблице:

№ / Страйк опциона, ден ед. / Время до экспирации, лет  / Количество, шт
1 / 100.00 / 1.00 / 1.0000
2 / 120.00 / 1.00 / -6.4962
3 / 120.00 / 0.83 / 2.7945
4 / 120.00 / 0.67 / 0.9237
5 / 120.00 / 0.50 / 0.4417
6 / 120.00 / 0.33 / 0.2553
7 / 120.00 / 0.17 / 0.1657

Стоимость портфеля на момент выписывания Up-and-Out Колл Опциона при цене базового актива $100 равняется $2.2971.

Репликация Up-and-Out Call опциона

При увеличение числа шагов до 12 стоимость портфеля составит $2.1136.

В реальной жизни, цена опциона до экспирации не может быть меньше его внутренней стоимость, иначе возникает возможность арбитража. Чтобы «искусственно» избежать данной «аномалии», при не противоречии модели Блэка-Шоулза, к рассматриваемому европейскому опциону в количестве одной единицы добавляют еще один европейский ванилла колл-опцион со страйком, равным цене «барьера» и экспирацией в по завершению N-1 периода, в количестве «единичка» за минусом дельта рассматриваемой европейской опции в точке «барьера».

Таким образом, имеем портфель из двух европейских колл-опционов, если конечно существует в «барьер», в противном случае портфель будет состоять из одного опциона.

Рассмотрим момент завершения периода N-2. Вычислим «барьер» теперь уже для портфеля опционов, экспирация первого через два этапа, второго (если он существует) через один этап. Если на данном этапе «барьер» существует, то к имеющимся опционам добавляют еще один, со страйком в цене «барьера» и в количестве, равном «единичка» за минусом дельта портфеля в точке «барьера».

Увеличиваем время до экспирации опционов на один этап, и рассматриваем завершение N-3 периода по рассмотренной схеме.

И так далее … пока не дойдем до окончания первого периода.

Пример: free risk rate 10% годовых, волатильность цены базового актива (например, бездивидендого фьючерса акцию) 30%, цена андерлаинга 100$, страйк 100$, время до экспирации ровно один год. Десятипериодная модель.

Стоимость портфеля 11.15$.  Для сравненя: стоимость европейской простой ванилла колл-опции с теме же параметрами 10.78$.

________________________________________________

Referece:

[1] Valuing American options in the presence of user-defined smiles and time-dependent volatility: scenario analysis, model stress and lower-bound pricing applications.// Peter Jackel Riccardo Rebonato Quantitative Research Centre, The Royal Bank of Scotland 135 Bishopsgate, London EC2M 3UR August 7th, 2000

Базовый актив – фьючерс F, ставка процента r, волатильность цены андерлаинга sigma>0.

Простой европейский ванилла колл-опцион E со страйком C.

Портфель простых европейских ванилла колл-опций Q={q[1],q[2],…,q[N]}, где  q[i] – количество i-го опциона в юнитах, i=1..N. Оговорены цены исполнения опций S={s[1],s[2],…,s[N]}. И время до экспирации T={t[1],t[2],…,t[N]}, причем t>0 для всех i=1..N, то есть ни один опцион в портфеле не истекает в рассматриваемый момент. 

Вычислить минимальную цену андерлаинга, при которой стоимость портфеля, рассчитанная по Блэку-Шоулзу и внутренняя стоимость опции E совпадают.

Немного рассуждений:

Внутренняя стоимость опции определяется как i(x)=max{0,x-C}, где x – цена андерлаинга. Будем рассматривать функцию P(x)-I(x) начиная с цены C (тот участок где I(x)=0, то есть для x<C нас не интересует). Таким образом, требуется найти минимальную цену, большую C, при которой P(x)-I(x)=0.

Учитывая вид функции P(x)-I(x) на интересующем нас интервале можно сделать вывод о том, что возможно три ситуации. Первая – искомой точки не существует. Вторая – существует единственная точка. И третий – существует две точки.

Для вычисления искомой цены воспользуемся методом Ньютона (например, [1 стр.185]).

Начнем поиск решения с точки C. В силу определения портфеля Q, его стоимость в точке C строго больше нуля. Внутренняя стоимость равна нулю. Таким образом, P(C)-I(C)>0. При этом возможно следующее:

• (P(C)-I(C))’ не меньше 0 => не существует такого интервала, начиная с C, на котором значения функция пересечет нулевую отметку (в силу того, что P(C)-I(C)>0, (P(C)-I(C))’>0 и того, что (P(x)-I(x))’ монотонно «неубывает»);
• (P(C)-I(C))’<0 => возможно существует такой интервал, начиная с C, на котором значения функции пересекут нулевую отметку.

Во втором случае будем искать точку пересечения функции с нулевой отметкой, перебирая (увеличивая) цену андерлаинга, определяя каждую следующую цену согласно x[j]=x[j-1]-((P(x[j-1])-I(x[j-1]))/(Delta(Q(x[j-1])*-1)), пока либо не приблизимся к решению на заданную величину, то есть пока P(x[j])-I(x[j]>K**, либо пока не окажемся в точе, в которой (P(C)-I(C))’ не меньше нуля.

_____________________________________
* Дельта портфеля
** Требуемая точность

Пример:

Европейский колл опцион со страйком 15000, фри-риск ставка 10%, волатильность цены андерлаинга 50%,  до экспирации ровно один год. Найти точку пересечения цены опциона и его внутренней стоимости с точностью до второго знака после «точки».

Reference

[1] Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие для вузов – 2 изд., испр. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 248с.

Ванила опция европейского стиля (Plain Vanilla Option) – любой неэкзотический опцион, исполняемый только на определенную дату по заранее определенной цене.

Опция американского стиля (American-Style Option) – опцион, исполняемый до указанной даты.

Сложность репликации опциона американского стиля при помощи простых европейских ванила опций, в отличие скажем, от репликации барьерных опционов, заключается в том, что ex ante не известен «барьер», при котором покупатель опциона потребует поставки. Точнее, известно лишь, что стоимость контракта в идеальном мире и до момента истечения контракта никогда не будет меньше его внутренней стоимости, то есть максимального значения из 0 и разности между ценой текущей ценой базового актива и ценой исполнения*. Для колл опции американского стиля это означает, что моментом его исполнения будет момент, когда «дельта» опции впервые принимает значение равное «единичке» [1 стр. 10].

Это основная идея репликации: требуется составить портфель из европейских ванила колл опций с различными датами экспирации, таким образом, чтобы его стоимость никогда не опускалась ниже внутренней стоимости такого «синтетического» американского опциона в любой i-тый момент времени**, i=1..n.

В момент (в момент времени n) экспирации моделируемого американского колл опциона, его стоимость будет равна его внутренней стоимости, дельта будет равна «единичке». Аналогичные характеристики будут и у простой европейской ванила опции с тем же страйком и с той же датой исполнения.

В момент, предшеструющий экспирации моделируемого американского опциона (в момент n-1), его стоимость будет определятся максимальным значением из текущей внутренней стоимости моделируемой опции (то есть либо «нулик», либо разность между ценой андерлаинга в момент времени n-1 и цены исполнения, если конечно же разность больше «нуля») и текущей стоимости простого европейского ванила опциона в момент времени n-1, с экспирацией в момент времени n [*].

Рассмотрим пример. Дискретная трехпериодная модель, i=1..3. Момент времени i=3 означает окончание обращения контракта. На момент времени i=1 будем рассчитывать портфель из простых европейских ванильных опционов, таким образом, чтобы на момент времени i=2 его теоретическая стоимость была не ниже внутренней стоимости моделируемого американского опциона. Расчеты осуществим на конкретных, пусть и вымышленных цифрах.

Итак, андерлаингом является фьючерс, цена которого на момент времени i=1 равняется 18000. Волатильность пусть будет постоянной и равняется 35 процентам за каждый период времени. Ставка процента 20% за каждый период времени. Будем рассчитывать американский опцион с истечением через два периода и возможностью страйка через один период времени по цене 18000.

По истечении срока обращения контрактов. Премия по опциону любого стиля, американского или европейского, совпадет с внутренней стоимостью.

По завершении периода, предшествующего последнему, то есть i=2, стоимость моделируемого, американского опциона будет равна (при сделанных предположениях [*]) максимуму внутренней стоимости и теоретической стоимости европейской ванила опции на момент времени i=2 и с истечением на момент времени i=3. Однако, при некоторых условиях, в частности как в примере, при цене фьючерса, равной примерно 22500, произойдет пересечение линии внутренней стоимости и его премии.

Для того чтобы стоимость портфеля европейских опций была выше уровня внутренней стоимости при любой цене в момент времени i=2, в портфеле должен быть еще один европейский опцион, исполняемый в момент времени i=2 и со страйком, равным цене при которой происходит пересечение внутренней стоимости и премии по опциону, с экспирацией в момент i=3. Количество опционов истекающих в момент времени i=2, будет определятся как разность «единички» и дельты погашаемого в i=3 европейского опциона в точке пересечения его премии и его же внутренней стоимости. В примере 1-0.548216527, то есть на каждый 1 опцион, истекающий в i=3, нужно 0.451783473 опциона с экспирацией в i=3. 
 

Итого: в нашем примере, для того чтобы сдублировать опцион, который можно «страйкнуть» в один определенный момент времени до его экспирации, на момент времени i=1 потребуется портфель, состоящий из одной евпропейской ванила опции с экпирацией в i=3, страйком 18000, и 0.451783473 европейской ванила опции с экпирацией в i=2, со страйком 22500.

Таким образом, суммарная стоимость портфеля составит 3554.21. Для сравнения: стоимость одного европейского опцопциона по Блэку-Скоулзу, с теме же параметрами, что и моделируемый опцион составляет 2990.86.

Естественно, что два периода это очень и очень грубая оценка, в [1 стр. 18] числено показано, что для более или менее приемлемых результатов потребовалось рассматривать 6 периодов.

___________________________________________________
*здесь и далее будем рассматривать колл опцию (call)
**рассматривается, естественно, дискретная модель

Referece:

[1] Valuing American options in the presence of user-defined smiles and time-dependent volatility: scenario analysis, model stress and lower-bound pricing applications.// Peter Jackel Riccardo Rebonato Quantitative Research Centre, The Royal Bank of Scotland 135 Bishopsgate, London EC2M 3UR August 7th, 2000