Из справки (Краткое описание):

Данная программа предназначена для расчета опционной премии (или подразумеваемой волатильности по известной премии), коэффициентов чувствительности, а также построения графиков фьючерсных и опционных позиций (прибылей/убытков, кривая стоимости опциона). Расчет опционной премии осуществляется по биноминальному методу для американских опционов на фьючерсные контракты.

Рассмотрим пример: Страйк = 100, Спот (цена фьючерса) = 100, ставка 10% и волатильность 20%. Время до исполнения 1 год. Оценим премию американского колл-опциона методом F.A. Longstaff – E.S. Schwartz (Монте-Карло, динамическое программирование, метод наименьших квадратов). Можно воспользоваться и более удобным способом оценки опциона американского стиля, например «конечными разностями», или статической репликацей портфелем простых европейских опционов – это на любителя. Получим приблизительную оценку стоимости американского опциона – 7.3823.

Рассчитаем справедливую стоимость рассматриваемого опциона в Опционный аналитик FORTS – 7.21. Это несколько ниже полученных нами оценок. Более того, полученное значение ближе к Блэку-Скоулзу для европейского опциона, нежели к оценкам американского опциона, в том числе и полученной нами оценке.

Опцион американского стиля не может быть дешевле опциона европейского стиля при прочих равных условиях, с одной стороны. С другой стороны, американский опцион не может стоить дешевле своей внутренней стоимости! И если кому-то полученная раннее разница в оценках в 2.4% еще ничего не говорит, то рассмотрим ситуацию когда цена спота равна 200.

Монте-Карло – 99.8 (должно быть не меньше 100 … ну что ж, не самый совершенный метод, тем не менее на уровне «с пивом потянет», результат можно считать удовлетворительным).

для увеличения кликнуть

Опционный аналитик – 90.49. То есть «покупаем» за 90.49 опцион, в тот же момент продаем фьючерс за 200 и сразу же инициируем поставку (покупку фьючерса) по 100 – Чистый результат – 9.5 прибыли из «воздуха» … Но на практике такого же не бывает.

Наиболее «продвинутые» опционщики могут посетовать на улыбку «волатильности». Мол, если опцион должен стоить по крайней мере 100, то волатильность (IV по премии – обратнай задачка), согласно Опционный аналитик FORTS – 77.20%.

Замонтекарлим, американский опцион с учетом новых обстоятельств – Страйк = 100, Спот (цена фьючерса) = 200, ставка 10% и волатильность 77.2%. Время до исполнения 1 год. Имеем – 105.20, что опять выше оценки, полученной в Опционный аналитик FORTS, но при этом не выбегает за рамки теории.

ПС: можно провести аналогичные подсчеты с использованием других калькуляторов (методов). К сожалению, не имея на руках исходников скриптов нельзя точно сказать какая именно модель используется в анализируемом продукте, хотя есть подозрения на биноминальную модель для опционов европейского стиля.

Единичный интервал времени – единичный горизонт, соответствует одному бизнес дню. Горизонт прогнозирования – один бизнес день. Горизонт расчета (N) – 253 единичных интервала.

Equal Weight
Equal Weight (EqW) – Simple Historical Volatility (SHV) — волатильность рассчитываемая методом простой (равновзвешенной) скользящей средней (SMA). Формула расчета:

Где:

Exponential Weighted Moving Average (EWMA)
RiskMetrics 1994 (RM1994) – Exponential Historical Volatility (EHV) — волатильность рассчитываемая методом экспоненциально-взвешенной скользящей средней. Формула расчета:

Где:

За значение «лямбды» принимается 0.06. Значение «единичка минус лямбда», сообтветственно равняется 0.94, что является значением по умолчанию для коэффициента при волатильности за предыдущий период.

The RiskMetrics 2006 methodology

RM2006. «Механизм» оценки:

Где

EWMA – волатильность для k определяется аналогично модели rm1994.

R e f e r e n c e :
_____________________________________________________________

• Gilles Zumbach The RiskMetrics 2006 methodology – Geneva: RiskMetrics Group, 2006
• RiskMetrics (ТМ) —Technical Document Fourth Edition, 1996: New York December 17, 1996

В реальной жизни, цена опциона до экспирации не может быть меньше его внутренней стоимость, иначе возникает возможность арбитража. Чтобы «искусственно» избежать данной «аномалии», при не противоречии модели Блэка-Шоулза, к рассматриваемому европейскому опциону в количестве одной единицы добавляют еще один европейский ванилла колл-опцион со страйком, равным цене «барьера» и экспирацией в по завершению N-1 периода, в количестве «единичка» за минусом дельта рассматриваемой европейской опции в точке «барьера».

Таким образом, имеем портфель из двух европейских колл-опционов, если конечно существует в «барьер», в противном случае портфель будет состоять из одного опциона.

Рассмотрим момент завершения периода N-2. Вычислим «барьер» теперь уже для портфеля опционов, экспирация первого через два этапа, второго (если он существует) через один этап. Если на данном этапе «барьер» существует, то к имеющимся опционам добавляют еще один, со страйком в цене «барьера» и в количестве, равном «единичка» за минусом дельта портфеля в точке «барьера».

Увеличиваем время до экспирации опционов на один этап, и рассматриваем завершение N-3 периода по рассмотренной схеме.

И так далее … пока не дойдем до окончания первого периода.

Пример: free risk rate 10% годовых, волатильность цены базового актива (например, бездивидендого фьючерса акцию) 30%, цена андерлаинга 100$, страйк 100$, время до экспирации ровно один год. Десятипериодная модель.

Стоимость портфеля 11.15$.  Для сравненя: стоимость европейской простой ванилла колл-опции с теме же параметрами 10.78$.

________________________________________________

Referece:

[1] Valuing American options in the presence of user-defined smiles and time-dependent volatility: scenario analysis, model stress and lower-bound pricing applications.// Peter Jackel Riccardo Rebonato Quantitative Research Centre, The Royal Bank of Scotland 135 Bishopsgate, London EC2M 3UR August 7th, 2000

Сравним волатильность рынка акций и спрэд по облигациям рейтинга BAA (то есть далеко не самые надежные корпоративные «бумажные» долги). В CAPM, ex ante, связь между ожидаемой доходностью и риском данных двух классов инструментов будет со знаком «полюс». И в целом, и в случае с отдельными корпорациями, динамика акций находится в зависимости от исполнения эмитентами своих обязательств по долгам.

Так как собственно спрэд доходности не является характеристикой риска в терминах портфельной теории, воспользуемся показателем «волатильности» портфеля облигаций, основываясь на следующих суждениях: 

Пусть по облигации в момент погашения будет дефолт с вероятностью в P, в этом случае потери составят -100%. Либо эмитент в полном объеме исполнит свои обязательства (Risk-Neutral Probabilities c reсovery rate 0%)*. Тогда

r = -P + b * ( 1 – P ), где

r – доходность гособлигаций,
b – доходность корпоративных облигаций,
P – вероятность дефолта по корпоративным облигациям.

Откуда:

P = ( b – r ) / ( 1 + b ).

Зная вероятности, оценим дисперсию:

v = P + b^2 * ( 1 – P ) – r^2,

и «сигму», исходя из того, что:

s^2 = v/120*,где
s – «сигма» (СКО).

Будем исследовать зависимость между кредитным спрэдом на конец предыдущего месяца, и дневные колебания рынка акций (по S&P500) в течение следующего. Для того чтобы снизить влияние «шума» несколько усредним, точнее сгруппируем данные.

1. Группировка по времени (по 12 месяцев).

Упорядочим данные в порядке возрастания риска облигаций. В качестве экзогенной переменной будет верхняя граница интервалов в 12 месяцев показателей риска облигаций, рассчитанная на основании спрэда, а в качестве эндогенной переменной будет выступать «сигма» дневных колебаний S&P500 по данным 12 месяцев.

Учитывая, что в CAPM связь между рисками отдельных классов не будет линейной (по крайней мере в данном случае связь между «сигмами» активов не будет линейной), приближать исходные данные линейной функцией не вполне корректно. Более четкая связь, в терминах R-квадрат, будет наблюдаться между дисперсиями доходности активов (R-квадрат примерно равен 36%).

2. Группировка по времени (по 117 месяцев).

Конечно, качество данных оставляет желать лучшего, и уравнение построенное при группировке данных первым способом вряд ли можно применять в прогнозировании волатильности рынка акций. Примерно с тем же уcпехом можно применять результаты группировки по 117 месяцев – шесть равных интервалов с 1953 по 2009 гг.

3. Группировка по СКО облигаций (с шагом по 0.25%).

Выводы: и априорно и статистически, имеет место зависимость между спрэдом на рынке корпоративных облигаций и волатильностью рынка акций.

_____________________________________________
*основная цель – переход от спрэда в пунктах к теоретической сигме модельного портфеля. Поскольку данный ход не ориентирована исчерпывающий анализ кредитных рисков на рынке корпоративных облигаций, подобного приближения будет более чем достаточно.
**деление на 120 (10 лет = 120 месяцев, исследовались доходности 10-них облигаций), осуществляется исключительно ради удобства визуального сравнения данных. Никакой смысловой нагрузки эта операция не несёт.