Из справки (Что такое OptionScope?)

OptionScope уникальный инструмент, в виде электронной таблицы, который используется для анализа опционов на фьючерсы и акции.
В OptionScope представлено пять основных функций:

• Оценка справедливой премии по Пут или Колл Опциону.
• Оценка IV (подразумеваемой волатильности), то есть волатильности, которая следует из фактической цены опциона и отражает ожидания участников рынка.
• Оценка коэффициентов чувствительности Опциона (Греков) к изменению рыночных условий: Дельта, Гамма, Тэта и Вега.
• OptionScope также можно использовать для сценарного анализа «что если?».
• И графические функции для визуально отображения прибыли/убытка по позициям.

Из справки (Модель ценообразования опционов Black-Scholes)

В основе OptionScope популярная математическая модель опционного ценообразования, представленная Fisher Black и Myron Scholes в 1973 году.

Модель позволяет определить справедливую стоимость опциона на основе текущей цены базового актива, волатильности, времени до экспирации и безрисковой ставки.

Релиз модели основан на следующих предположениях:

• Рынок идеален. Отсутствуют налоги, какие либо транзакционные издержки, участники рынка могут занимать и одалживать по одной для всех безрисковой ставке. Разрешены «шорты» и активы бесконечно делимы.
•  Цены распределены логнормально. Что значит, что цена может удвоиться с той же легкостью как и уполовиниться.
• В модели по акциям не предусмотрены денежные дивиденды и бонусные эмиссии. Тем не менее, в OptionScope возможна корректировка модели с учетом дивидендов.
• Опцион может быть исполнен только на момент экспирации.

Таким образом, OptionScope инструмент для оценки Опционов европейского стиля. Для бездивидендных акций модель и релиз неплохо работает, и вроде бы никаких проблем замечено не было.

Самое интересное начинается при анализе опционов на акции с дивидендами и опционов на фьючерсы. Разберем подробно несколько кейсов при оценке и анализе опциона на фьючерс (для опциона на дивидендные акции процедура аналогична).

Для альтернативной оценки опционов воспользуемся скриптом, в основе которого все та же модель Блэка Шоулза, а точнее её модификация для фьючерсного рынка:

Зададим цену базового актива в $100, страйк в $100, безрисковую ставку, например 10% годовых и аннуализированная волатильность 35%. Время до исполнения ровно 1 год (365 дне). Согласно оценкам полученным при помощи OptionScope, премия по такому опциону типа колл равняется 12.57006. По альтернативному релизу Black-Scholes 12.57003457. Незначительная разница предположительно может быть объяснена округлениями и «качеством» подсчета вероятностного интеграла. В общем, оценки, можно
сказать совпадают.

Теперь рассчитаем премию опциона при тех же условиях, но текущую цену фьючерса зададим в $140. Альтернативный релиз Black-Scholes дает $39.52005501, при внутренней стоимости $40. Для опциона европейского стиля на фьючерс такая ситуация вполне обычна. А вот опцион американского стиля не может стоить меньше внутренней стоимости, ни при каких условиях. Что выдает OptionScope? Премия $40, равна внутренней стоимости. То есть подогнали «европейскую модель» под «американский» стиль!

Вероятно (однозначно здесь, наверное, нельзя утверждать) OptionScope выдает максимум внутренней стоимости и премии по Black-Scholes, что не соответствует действительности ни в модели, ни в реальном мире.

Покажем некорректность расчетов (даже без альтернативной оценки) через оценку подразумеваемой волатильности по известной премии. Условия прежние: БА – $140, Страйк – $100, безрисковая ставка 10% годовых и время жизни опциона один год. В качестве премии по опциону возьмем результат предыдущего испытания, то есть $40, что было получено при 35%-ой волатильности. Сколько показывает OptionScope? Предательские 25.00008773804 процентов для всех цен выше «барьерного» уровня – примерно 137.77 (с точностью до третьего знака).

Интересно: а что если показывать премию меньшую внутренней стоимости? Такая задачка OptionScope «не позубам», что еще раз свидетельствет о том, что используется некая модификация Black-Scholes, которая не имеет отношения хотя бы к теоретической стоимости европейского опциона.

Рассмотрим N-периодную модель: t[0] – момент выписывания Up-and-Out Call Опциона, t[N]=T – момент его истечения.

В момент истечения Up-and-Out Call Опциона, то есть t[N], при цене базового актива меньшей барьера, его стоимость определяется как стоимость простого европейского ванильного опциона, если в остальные моменты времени цена базового актива не достигала уровня барьера. То есть для того чтобы воссоздать реализацию первого сценария, в дублирующий портфель включается один простой европейский колл опцион с ценой исполнения S и экспирацией в момент времени t[N]. Обозначим его стоимость момент t[N] O(1,t[N]).

Второй сценарий предполагает, что при достижении ценой базового актива уровня B моделируемый опцион утрачивает силу и его стоимость «обнуляется». Для того чтобы сдублировать этот вариант развития событий в момент t[N-1] потребуется закрыть все позиции* по опционам, и сделать это необходимо при их нулевой стоимости. Для того чтобы «занулить» стоимость портфеля в момент времени t[N-1] в портфель добавляется позиция по европейскому колл опциону со страйком B** и моментом исполнения t[N] – O(2,t[N]). Стоимость такого контракта в момент времени t[N] не окажет влияния на финальную стоимость портфеля при цене меньшей B. А объем позиции по добавляемому опциону определяется из условия x[1]*O(1,t[N-1]) + x[2]*O(2,t[N-1]) = 0, то есть x[2] = -O(1,t[N-1])/O(2,t[N-1]).

В момент времени t[N-2] в портфель добавляется опцион с исполнением в момент времени t[N-1], страком B и в количестве из расчета x[1]*O(1,t[N-2]) + x[2]*O(2,t[N-2]) + x[3]*O(3,t[N-2])= 0.

На i-м шаге, в портфель добавляется позиция по простому европейскому колл опциону с ценой исполнения B, экспирацией в момент t[N-i-1]. Объем позиции определяется исходя из x[1]*O(1,t[N-2]) + x[2]*O(2,t[N-i]) + x[3]*O(3,t[N-i]) + … + x[i+1]*O(i+1,t[N-i])= 0.

И так далее …

В момент t[0], стоимость составленного портфеля при любой цене базового актива, не превосходящей уровень барьера, будет служить оценкой стоимости Up-and-Out Call Опциона. Чем больше N, тем ближе оценка к теоретической стоимости моделируемого опциона.

Пример: Страйк – $100, барьер $120, волатильность базового актива 15%, безрисковая ставка 5% годовых, дивидендная доходность 3% годовых, срок опциона – один год.
Зададим N=6. По истечении 12-ти месяцев стоимость Up-and-Out Колл Опциона до барьерного уровня будет сооствествовать стоимости простого ванильного европейского опциона с ценой исполнения в $100 и моментом экспирации, соответствующем моменту экспирации моделируемого контракта.

По прошествии десяти месяцев с момента выписывания рассматриваемого Up-and-Out контракта, стоимость дублирующего портфеля определяется стоимостью европейского ванильного колл опциона с исполнением через 1/6 года и при цене спота в $120 – $20.23. При этом стоимость аналогичного опциона с исполнением по $120 в этот же момент времени составляет $3.11. Таким образом, чтобы портфель в рассматриваемый момент времени стоил ровно «нуль», объем позиции по добавляемому инструменту составит -$20.23/$3.11=-6.50.

В момент соответствующий четырем месяцам до исполнения Up-and-Out контракта, стомость составленного портфеля опционов в барьерном уровне составит $20.51 + $4.50*(-6.50) = -$8.70. Поэтому в портфель добавляется простой европейский опцион ценой исполнения $120 и исполнением через два месяца, стоимость которого в рассматриваемый момент времени $3.11. Объем открываемой позиции определяется из рассчета -(-$8.70/)/$3.11 = 2.79.

И так далее … Результаты расчетов приведены в таблице:

№ / Страйк опциона, ден ед. / Время до экспирации, лет  / Количество, шт
1 / 100.00 / 1.00 / 1.0000
2 / 120.00 / 1.00 / -6.4962
3 / 120.00 / 0.83 / 2.7945
4 / 120.00 / 0.67 / 0.9237
5 / 120.00 / 0.50 / 0.4417
6 / 120.00 / 0.33 / 0.2553
7 / 120.00 / 0.17 / 0.1657

Стоимость портфеля на момент выписывания Up-and-Out Колл Опциона при цене базового актива $100 равняется $2.2971.

Репликация Up-and-Out Call опциона

При увеличение числа шагов до 12 стоимость портфеля составит $2.1136.

Симуляция торговли на компьютере. Начальная сумма 1000 долларов, 100 трейдов, 60* трейдов прибыльные, случайным является порядок прибыльных трейдов. Прибыльный приносит 100% прибыли, убыточный 100% убытка. Ставка устанавливается участником эксперимента по его собственному усмотрению исходя из отстака на счете («шортов» нет, «плечей» тоже нет).

Цель: получить максимальную прибыль

Пройти тест >>

Из истории: Ральф Винс пригласил 40 докторов наук (не имевших отношения к статистике, трейдингу и пр.). После симуляции 100 трейдов на компьютере только двое участника эксперимента имели остаток на счете превосходивший первоначальную сумму. 95% докторов прошли тест с убытком!

________________________________________________
*)в оригинале упоминается о ста трейдах, для которых вероятность прибыльного (убыточного) исхода постояна на каждом шаге эксперимента.

Reference:

• Р.Винс Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров: Пер. с англ. – М.: Альпина Паблишер, 2001. – 400 с.
• Биржевые стратегии игры без риска. Ван Тарп, Д. Р. Бартон-мл, С. Сьюггеруд
• THE MATHEMATICS OF MONEY MANAGEMENT. Risk Analysis Techniques for Traders // Ralph Vince
• Ralph Vincent «The Ralph Vincent Experiment» in Lucas and Lebeau, Technical Traders Bulletin March 1992 pp1-2

Единичный интервал времени – единичный горизонт, соответствует одному бизнес дню. Горизонт прогнозирования – один бизнес день. Горизонт расчета (N) – 253 единичных интервала.

Equal Weight
Equal Weight (EqW) – Simple Historical Volatility (SHV) — волатильность рассчитываемая методом простой (равновзвешенной) скользящей средней (SMA). Формула расчета:

Где:

Exponential Weighted Moving Average (EWMA)
RiskMetrics 1994 (RM1994) – Exponential Historical Volatility (EHV) — волатильность рассчитываемая методом экспоненциально-взвешенной скользящей средней. Формула расчета:

Где:

За значение «лямбды» принимается 0.06. Значение «единичка минус лямбда», сообтветственно равняется 0.94, что является значением по умолчанию для коэффициента при волатильности за предыдущий период.

The RiskMetrics 2006 methodology

RM2006. «Механизм» оценки:

Где

EWMA – волатильность для k определяется аналогично модели rm1994.

R e f e r e n c e :
_____________________________________________________________

• Gilles Zumbach The RiskMetrics 2006 methodology – Geneva: RiskMetrics Group, 2006
• RiskMetrics (ТМ) —Technical Document Fourth Edition, 1996: New York December 17, 1996

В реальной жизни, цена опциона до экспирации не может быть меньше его внутренней стоимость, иначе возникает возможность арбитража. Чтобы «искусственно» избежать данной «аномалии», при не противоречии модели Блэка-Шоулза, к рассматриваемому европейскому опциону в количестве одной единицы добавляют еще один европейский ванилла колл-опцион со страйком, равным цене «барьера» и экспирацией в по завершению N-1 периода, в количестве «единичка» за минусом дельта рассматриваемой европейской опции в точке «барьера».

Таким образом, имеем портфель из двух европейских колл-опционов, если конечно существует в «барьер», в противном случае портфель будет состоять из одного опциона.

Рассмотрим момент завершения периода N-2. Вычислим «барьер» теперь уже для портфеля опционов, экспирация первого через два этапа, второго (если он существует) через один этап. Если на данном этапе «барьер» существует, то к имеющимся опционам добавляют еще один, со страйком в цене «барьера» и в количестве, равном «единичка» за минусом дельта портфеля в точке «барьера».

Увеличиваем время до экспирации опционов на один этап, и рассматриваем завершение N-3 периода по рассмотренной схеме.

И так далее … пока не дойдем до окончания первого периода.

Пример: free risk rate 10% годовых, волатильность цены базового актива (например, бездивидендого фьючерса акцию) 30%, цена андерлаинга 100$, страйк 100$, время до экспирации ровно один год. Десятипериодная модель.

Стоимость портфеля 11.15$.  Для сравненя: стоимость европейской простой ванилла колл-опции с теме же параметрами 10.78$.

________________________________________________

Referece:

[1] Valuing American options in the presence of user-defined smiles and time-dependent volatility: scenario analysis, model stress and lower-bound pricing applications.// Peter Jackel Riccardo Rebonato Quantitative Research Centre, The Royal Bank of Scotland 135 Bishopsgate, London EC2M 3UR August 7th, 2000

Базовый актив – фьючерс F, ставка процента r, волатильность цены андерлаинга sigma>0.

Простой европейский ванилла колл-опцион E со страйком C.

Портфель простых европейских ванилла колл-опций Q={q[1],q[2],…,q[N]}, где  q[i] – количество i-го опциона в юнитах, i=1..N. Оговорены цены исполнения опций S={s[1],s[2],…,s[N]}. И время до экспирации T={t[1],t[2],…,t[N]}, причем t>0 для всех i=1..N, то есть ни один опцион в портфеле не истекает в рассматриваемый момент. 

Вычислить минимальную цену андерлаинга, при которой стоимость портфеля, рассчитанная по Блэку-Шоулзу и внутренняя стоимость опции E совпадают.

Немного рассуждений:

Внутренняя стоимость опции определяется как i(x)=max{0,x-C}, где x – цена андерлаинга. Будем рассматривать функцию P(x)-I(x) начиная с цены C (тот участок где I(x)=0, то есть для x<C нас не интересует). Таким образом, требуется найти минимальную цену, большую C, при которой P(x)-I(x)=0.

Учитывая вид функции P(x)-I(x) на интересующем нас интервале можно сделать вывод о том, что возможно три ситуации. Первая – искомой точки не существует. Вторая – существует единственная точка. И третий – существует две точки.

Для вычисления искомой цены воспользуемся методом Ньютона (например, [1 стр.185]).

Начнем поиск решения с точки C. В силу определения портфеля Q, его стоимость в точке C строго больше нуля. Внутренняя стоимость равна нулю. Таким образом, P(C)-I(C)>0. При этом возможно следующее:

• (P(C)-I(C))’ не меньше 0 => не существует такого интервала, начиная с C, на котором значения функция пересечет нулевую отметку (в силу того, что P(C)-I(C)>0, (P(C)-I(C))’>0 и того, что (P(x)-I(x))’ монотонно «неубывает»);
• (P(C)-I(C))’<0 => возможно существует такой интервал, начиная с C, на котором значения функции пересекут нулевую отметку.

Во втором случае будем искать точку пересечения функции с нулевой отметкой, перебирая (увеличивая) цену андерлаинга, определяя каждую следующую цену согласно x[j]=x[j-1]-((P(x[j-1])-I(x[j-1]))/(Delta(Q(x[j-1])*-1)), пока либо не приблизимся к решению на заданную величину, то есть пока P(x[j])-I(x[j]>K**, либо пока не окажемся в точе, в которой (P(C)-I(C))’ не меньше нуля.

_____________________________________
* Дельта портфеля
** Требуемая точность

Пример:

Европейский колл опцион со страйком 15000, фри-риск ставка 10%, волатильность цены андерлаинга 50%,  до экспирации ровно один год. Найти точку пересечения цены опциона и его внутренней стоимости с точностью до второго знака после «точки».

Reference

[1] Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие для вузов – 2 изд., испр. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 248с.

Ванила опция европейского стиля (Plain Vanilla Option) – любой неэкзотический опцион, исполняемый только на определенную дату по заранее определенной цене.

Опция американского стиля (American-Style Option) – опцион, исполняемый до указанной даты.

Сложность репликации опциона американского стиля при помощи простых европейских ванила опций, в отличие скажем, от репликации барьерных опционов, заключается в том, что ex ante не известен «барьер», при котором покупатель опциона потребует поставки. Точнее, известно лишь, что стоимость контракта в идеальном мире и до момента истечения контракта никогда не будет меньше его внутренней стоимости, то есть максимального значения из 0 и разности между ценой текущей ценой базового актива и ценой исполнения*. Для колл опции американского стиля это означает, что моментом его исполнения будет момент, когда «дельта» опции впервые принимает значение равное «единичке» [1 стр. 10].

Это основная идея репликации: требуется составить портфель из европейских ванила колл опций с различными датами экспирации, таким образом, чтобы его стоимость никогда не опускалась ниже внутренней стоимости такого «синтетического» американского опциона в любой i-тый момент времени**, i=1..n.

В момент (в момент времени n) экспирации моделируемого американского колл опциона, его стоимость будет равна его внутренней стоимости, дельта будет равна «единичке». Аналогичные характеристики будут и у простой европейской ванила опции с тем же страйком и с той же датой исполнения.

В момент, предшеструющий экспирации моделируемого американского опциона (в момент n-1), его стоимость будет определятся максимальным значением из текущей внутренней стоимости моделируемой опции (то есть либо «нулик», либо разность между ценой андерлаинга в момент времени n-1 и цены исполнения, если конечно же разность больше «нуля») и текущей стоимости простого европейского ванила опциона в момент времени n-1, с экспирацией в момент времени n [*].

Рассмотрим пример. Дискретная трехпериодная модель, i=1..3. Момент времени i=3 означает окончание обращения контракта. На момент времени i=1 будем рассчитывать портфель из простых европейских ванильных опционов, таким образом, чтобы на момент времени i=2 его теоретическая стоимость была не ниже внутренней стоимости моделируемого американского опциона. Расчеты осуществим на конкретных, пусть и вымышленных цифрах.

Итак, андерлаингом является фьючерс, цена которого на момент времени i=1 равняется 18000. Волатильность пусть будет постоянной и равняется 35 процентам за каждый период времени. Ставка процента 20% за каждый период времени. Будем рассчитывать американский опцион с истечением через два периода и возможностью страйка через один период времени по цене 18000.

По истечении срока обращения контрактов. Премия по опциону любого стиля, американского или европейского, совпадет с внутренней стоимостью.

По завершении периода, предшествующего последнему, то есть i=2, стоимость моделируемого, американского опциона будет равна (при сделанных предположениях [*]) максимуму внутренней стоимости и теоретической стоимости европейской ванила опции на момент времени i=2 и с истечением на момент времени i=3. Однако, при некоторых условиях, в частности как в примере, при цене фьючерса, равной примерно 22500, произойдет пересечение линии внутренней стоимости и его премии.

Для того чтобы стоимость портфеля европейских опций была выше уровня внутренней стоимости при любой цене в момент времени i=2, в портфеле должен быть еще один европейский опцион, исполняемый в момент времени i=2 и со страйком, равным цене при которой происходит пересечение внутренней стоимости и премии по опциону, с экспирацией в момент i=3. Количество опционов истекающих в момент времени i=2, будет определятся как разность «единички» и дельты погашаемого в i=3 европейского опциона в точке пересечения его премии и его же внутренней стоимости. В примере 1-0.548216527, то есть на каждый 1 опцион, истекающий в i=3, нужно 0.451783473 опциона с экспирацией в i=3. 
 

Итого: в нашем примере, для того чтобы сдублировать опцион, который можно «страйкнуть» в один определенный момент времени до его экспирации, на момент времени i=1 потребуется портфель, состоящий из одной евпропейской ванила опции с экпирацией в i=3, страйком 18000, и 0.451783473 европейской ванила опции с экпирацией в i=2, со страйком 22500.

Таким образом, суммарная стоимость портфеля составит 3554.21. Для сравнения: стоимость одного европейского опцопциона по Блэку-Скоулзу, с теме же параметрами, что и моделируемый опцион составляет 2990.86.

Естественно, что два периода это очень и очень грубая оценка, в [1 стр. 18] числено показано, что для более или менее приемлемых результатов потребовалось рассматривать 6 периодов.

___________________________________________________
*здесь и далее будем рассматривать колл опцию (call)
**рассматривается, естественно, дискретная модель

Referece:

[1] Valuing American options in the presence of user-defined smiles and time-dependent volatility: scenario analysis, model stress and lower-bound pricing applications.// Peter Jackel Riccardo Rebonato Quantitative Research Centre, The Royal Bank of Scotland 135 Bishopsgate, London EC2M 3UR August 7th, 2000

Сравним волатильность рынка акций и спрэд по облигациям рейтинга BAA (то есть далеко не самые надежные корпоративные «бумажные» долги). В CAPM, ex ante, связь между ожидаемой доходностью и риском данных двух классов инструментов будет со знаком «полюс». И в целом, и в случае с отдельными корпорациями, динамика акций находится в зависимости от исполнения эмитентами своих обязательств по долгам.

Так как собственно спрэд доходности не является характеристикой риска в терминах портфельной теории, воспользуемся показателем «волатильности» портфеля облигаций, основываясь на следующих суждениях: 

Пусть по облигации в момент погашения будет дефолт с вероятностью в P, в этом случае потери составят -100%. Либо эмитент в полном объеме исполнит свои обязательства (Risk-Neutral Probabilities c reсovery rate 0%)*. Тогда

r = -P + b * ( 1 – P ), где

r – доходность гособлигаций,
b – доходность корпоративных облигаций,
P – вероятность дефолта по корпоративным облигациям.

Откуда:

P = ( b – r ) / ( 1 + b ).

Зная вероятности, оценим дисперсию:

v = P + b^2 * ( 1 – P ) – r^2,

и «сигму», исходя из того, что:

s^2 = v/120*,где
s – «сигма» (СКО).

Будем исследовать зависимость между кредитным спрэдом на конец предыдущего месяца, и дневные колебания рынка акций (по S&P500) в течение следующего. Для того чтобы снизить влияние «шума» несколько усредним, точнее сгруппируем данные.

1. Группировка по времени (по 12 месяцев).

Упорядочим данные в порядке возрастания риска облигаций. В качестве экзогенной переменной будет верхняя граница интервалов в 12 месяцев показателей риска облигаций, рассчитанная на основании спрэда, а в качестве эндогенной переменной будет выступать «сигма» дневных колебаний S&P500 по данным 12 месяцев.

Учитывая, что в CAPM связь между рисками отдельных классов не будет линейной (по крайней мере в данном случае связь между «сигмами» активов не будет линейной), приближать исходные данные линейной функцией не вполне корректно. Более четкая связь, в терминах R-квадрат, будет наблюдаться между дисперсиями доходности активов (R-квадрат примерно равен 36%).

2. Группировка по времени (по 117 месяцев).

Конечно, качество данных оставляет желать лучшего, и уравнение построенное при группировке данных первым способом вряд ли можно применять в прогнозировании волатильности рынка акций. Примерно с тем же уcпехом можно применять результаты группировки по 117 месяцев – шесть равных интервалов с 1953 по 2009 гг.

3. Группировка по СКО облигаций (с шагом по 0.25%).

Выводы: и априорно и статистически, имеет место зависимость между спрэдом на рынке корпоративных облигаций и волатильностью рынка акций.

_____________________________________________
*основная цель – переход от спрэда в пунктах к теоретической сигме модельного портфеля. Поскольку данный ход не ориентирована исчерпывающий анализ кредитных рисков на рынке корпоративных облигаций, подобного приближения будет более чем достаточно.
**деление на 120 (10 лет = 120 месяцев, исследовались доходности 10-них облигаций), осуществляется исключительно ради удобства визуального сравнения данных. Никакой смысловой нагрузки эта операция не несёт.

S(x) = Assets – (F – P(x)),

где S(x) – стоимость компании для акционера, S(x)>0*,
Assets – активы компании, в данном случае активы банка,
F – долг банка,
P(x) – пут опцион на активы Assets, со страйком, равным номиналу долга F.

P(x) – это своего рода страховка на тот случай, если чистые активы банка окажутся отрицательными. Пут опцион в данном случае будет без денег, если у банка достаточный для погашения долгов уровень чистых активов. И опцион будут «в деньгах», если банк неплатежеспособен. И в любом случае цена опциона напрямую зависит от качества активов банка: чем они хуже, тем большую «премию за риск» будет иметь опцион, а следовательно больше будет стоимость активов банка для акционеров и инвесторов.

Активы банков на сегодня включают надежные активы и проблемные:

Assets = Good Assets + “Toxic” Assets

Если заменить проблемные активы на деньги**, что и предполагается, только не указывается цена и не регламентируется механизм ее расчета, то акционеры потеряют в любом случае в рамках модели, независимо от того устойчивый банк вычищает баланс или проблемный.

Assets = Good Assets + Cash Value of  “Toxic” Assets.

Надежность активов в этом случае растет, следовательно, риск-премия по пут-опциону снижается.

Вариант первый: банк остается платежеспособным – стоимость активов банка для акционеров и инвесторов снижается.

S(y) = Good Assets + Cash Value of  “Toxic” Assets – F + P(y)>0,

где

Good Assets + Cash Value of  “Toxic” Assets – F > 0

Опцион в данном случае без денег, при этом он очень теряет в стоимости из-за повышения надежности активов банка. S(x) > S(y).

Вариант второй: банк неплатежеспособен – в этом случае у акционеров отбирают надежду, которая для них имеет реальную стоимость – чистые активы банка отрицательны, опцион имеет внутреннюю стоимость, а стоимость активов банка для акционеров и инвесторов равно «нулю», если на балансе остаются только надежные активы.

S(z) = Good Assets + Cash Value of  “Toxic” Assets – F + P(z)=0,

где,

Good Assets + Cash Value of  “Toxic” Assets – F < 0

и

P(z) = -( Good Assets + Cash Value of  “Toxic” Assets – F )

И в этом случае акционеры окажутся в проигрыше.

Для того чтобы реализовать программу выкупа проблемных активов на рыночных условиях, частно-государственному хеджевому фонду необходимо будет предложить помимо текущей цены проблемных активов и компенсацию акционерам, размер которой определяется путом акционеров, и зависит от качества проблемных активов – чем хуже их качество, тем большую компенсацию следует предложить акционерам.

А кто за это заплатит? Известно, либо Фед, уже ставший инструментом Бюджетной политики, либо за все заплатят американские налогоплательщики.

Однако не следует забывать и о нерыночных инструментах. Регуляторы без труда смогут вынудить увеличить капитал американские банки, что будет иметь силу предложения о продаже токсичных активов по предложенным ценам, близким к текущим. И от этого предложения «нельзя будет отказаться».

* Мертон – Нобелевский лауреат, один из управляющих партнеров LTCM.
**  В общем случае, справедливо здесь нестрогое неравенство: «больше или равно»
*** Здесь продаем активы по тем ценам, по которым они учитываются в рассматриваемой модели.

Linus Wilson «The Put Problem with Buying Toxic Assets» http://ssrn.com/abstract=1343625