Дискретная модель. Время действия опциона, от момента когда он выписывается и заканчивая моментом экспирации, разбивается на N периодов (этапов). По завершению периода N, то есть в момент экспирации цена опциона совпадает с его внутренней стоимостью. Далее, по окончанию периода N-1, цена опциона определяется, согласно модели Блэка-Шоулза для простого европейского ванилла колл-опциона, со страйком равным страйку моделируемого американского колл-опциона. Вычисляется «барьер», то есть точка, в которой дельта опциона впервые (при увеличении цены, начиная со страйка) принимает значение в «единичку».

В реальной жизни, цена опциона до экспирации не может быть меньше его внутренней стоимость, иначе возникает возможность арбитража. Чтобы «искусственно» избежать данной «аномалии», при не противоречии модели Блэка-Шоулза, к рассматриваемому европейскому опциону в количестве одной единицы добавляют еще один европейский ванилла колл-опцион со страйком, равным цене «барьера» и экспирацией в по завершению N-1 периода, в количестве «единичка» за минусом дельта рассматриваемой европейской опции в точке «барьера».

Таким образом, имеем портфель из двух европейских колл-опционов, если конечно существует в «барьер», в противном случае портфель будет состоять из одного опциона.

Рассмотрим момент завершения периода N-2. Вычислим «барьер» теперь уже для портфеля опционов, экспирация первого через два этапа, второго (если он существует) через один этап. Если на данном этапе «барьер» существует, то к имеющимся опционам добавляют еще один, со страйком в цене «барьера» и в количестве, равном «единичка» за минусом дельта портфеля в точке «барьера».

Увеличиваем время до экспирации опционов на один этап, и рассматриваем завершение N-3 периода по рассмотренной схеме.

И так далее … пока не дойдем до окончания первого периода.

Пример: free risk rate 10% годовых, волатильность цены базового актива (например, бездивидендого фьючерса акцию) 30%, цена андерлаинга 100$, страйк 100$, время до экспирации ровно один год. Десятипериодная модель.

Стоимость портфеля 11.15$.  Для сравненя: стоимость европейской простой ванилла колл-опции с теме же параметрами 10.78$.

________________________________________________

Referece:

[1] Valuing American options in the presence of user-defined smiles and time-dependent volatility: scenario analysis, model stress and lower-bound pricing applications.// Peter Jackel Riccardo Rebonato Quantitative Research Centre, The Royal Bank of Scotland 135 Bishopsgate, London EC2M 3UR August 7th, 2000