Бэта версия.

Базовый актив – фьючерс F, ставка процента r, волатильность цены андерлаинга sigma>0.

Простой европейский ванилла колл-опцион E со страйком C.

Портфель простых европейских ванилла колл-опций Q={q[1],q[2],…,q[N]}, где  q[i] – количество i-го опциона в юнитах, i=1..N. Оговорены цены исполнения опций S={s[1],s[2],…,s[N]}. И время до экспирации T={t[1],t[2],…,t[N]}, причем t>0 для всех i=1..N, то есть ни один опцион в портфеле не истекает в рассматриваемый момент. 

Вычислить минимальную цену андерлаинга, при которой стоимость портфеля, рассчитанная по Блэку-Шоулзу и внутренняя стоимость опции E совпадают.

Немного рассуждений:

Внутренняя стоимость опции определяется как i(x)=max{0,x-C}, где x – цена андерлаинга. Будем рассматривать функцию P(x)-I(x) начиная с цены C (тот участок где I(x)=0, то есть для x<C нас не интересует). Таким образом, требуется найти минимальную цену, большую C, при которой P(x)-I(x)=0.

Учитывая вид функции P(x)-I(x) на интересующем нас интервале можно сделать вывод о том, что возможно три ситуации. Первая – искомой точки не существует. Вторая – существует единственная точка. И третий – существует две точки.

Для вычисления искомой цены воспользуемся методом Ньютона (например, [1 стр.185]).

Начнем поиск решения с точки C. В силу определения портфеля Q, его стоимость в точке C строго больше нуля. Внутренняя стоимость равна нулю. Таким образом, P(C)-I(C)>0. При этом возможно следующее:

• (P(C)-I(C))’ не меньше 0 => не существует такого интервала, начиная с C, на котором значения функция пересечет нулевую отметку (в силу того, что P(C)-I(C)>0, (P(C)-I(C))’>0 и того, что (P(x)-I(x))’ монотонно «неубывает»);
• (P(C)-I(C))’<0 => возможно существует такой интервал, начиная с C, на котором значения функции пересекут нулевую отметку.

Во втором случае будем искать точку пересечения функции с нулевой отметкой, перебирая (увеличивая) цену андерлаинга, определяя каждую следующую цену согласно x[j]=x[j-1]-((P(x[j-1])-I(x[j-1]))/(Delta(Q(x[j-1])*-1)), пока либо не приблизимся к решению на заданную величину, то есть пока P(x[j])-I(x[j]>K**, либо пока не окажемся в точе, в которой (P(C)-I(C))’ не меньше нуля.

_____________________________________
* Дельта портфеля
** Требуемая точность

Пример:

Европейский колл опцион со страйком 15000, фри-риск ставка 10%, волатильность цены андерлаинга 50%,  до экспирации ровно один год. Найти точку пересечения цены опциона и его внутренней стоимости с точностью до второго знака после «точки».

Reference

[1] Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие для вузов – 2 изд., испр. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 248с.